Замена переменных в определенном интеграле, интегрирование по частям

Если: - $f(x)$ - непрерывна на $[a, b]$ - $g(t)\mathpunct{:}~ [c, d] \to [a, b]$ - непрерывно дифференцируема - $g(c) = a,~ g(d) = b$ Тогда: $$\int_{c}^{d} f(g(t))g'(t) \, dt = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$$

Пусть $F(x)$ - первообразная $f(x)$. Тогда $F(g(t))$ - первообразная $f(g(t))g'(t)$ (по дифференцируемости сложной функции) Значит по формуле Ньютона-Лейбница получаем: $$\int_{c}^{d} f(g(t))g'(t) \, dx = F(g(d)) - F(g(c)) = F(b) - F(a) = \int_{a}^{b} f(x) \, dx$$ $\square$

Если $f(x)$ и $g(x)$ - непрерывно дифференцируемы на $[a, b]$, то: $$\int_{a}^{b} f(x)g'(x) \, dx = f(x)g(x) \Bigg|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x)g(x) \, dx$$

Из производной произведения знаем, что: $$f(x)g'(x) = (f(x)g(x))' - f'(x)g(x)$$ Так как $f(x)$ и $g(x)$ интегрируемы, то можем подставить данное выражение в интеграл и воспользоваться линейностью: $$\int_{a}^{b} f(x)g'(x) \, dx = \int_{a}^{b} (f(x)g(x))' \, dx - \int_{a}^{b} f'(x)g(x) \, dx = f(x)g(x) \Bigg|_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f'(x)g(x) \, dx$$ $\square$